Newton e l'armonografo caotico
“Non so come il mondo potrà giudicarmi ma a me sembra soltanto di essere un bambino che gioca sulla spiaggia, e di essermi divertito a trovare ogni tanto un sasso o una conchiglia più bella del solito, mentre l'oceano della verità giaceva inesplorato davanti a me.”
Isaac Newton
“Posso misurare il moto dei corpi con l'umana follia.”
Isaac Newton
C'è un esperimento che si può fare con due pendoli, un po' di filo e una penna. Si appende il secondo pendolo all'estremità del primo. Si mette un foglio sotto. Si lascia andare il sistema. E si aspetta. Quello che appare sul foglio non somiglia a niente che si potesse prevedere. Non è un cerchio, non è un'ellisse, non è una figura geometrica con un nome. È una traccia che si intreccia su se stessa, si addensa in certi punti e si assottiglia in altri, costruisce zone di quasi-solidità e filamenti sottilissimi, produce contrasto e ritmo e — questa è la parola giusta, anche se è strana — respiro. Produce qualcosa che si riconosce immediatamente come bello senza sapere perché. E tutto questo è accaduto seguendo le leggi di Newton. Senza derogare di un millimetro al determinismo più assoluto che la fisica classica abbia mai formulato.
Newton aveva scritto le equazioni del moto. Erano deterministiche, reversibili, perfette. Data la posizione e la velocità iniziale di ogni oggetto, il futuro era — in linea di principio — completamente calcolabile. L'universo era un orologio dalla precisione infinita. Pierre-Simon Laplace aveva portato questa idea alla sua conseguenza logica più vertiginosa. Immaginiamo, scriveva, un'intelligenza che conoscesse la posizione e la velocità di ogni particella nell'universo in un dato istante. Per quella intelligenza non ci sarebbe nulla di incerto: il futuro si dispiegherebbe davanti a lei con la stessa necessità del passato. Passato e futuro sarebbero ugualmente leggibili. Il caso non esiste: è solo il nome che diamo alla nostra ignoranza. È una visione di una coerenza quasi commovente. E per quasi due secoli ha costituito l'orizzonte implicito di ogni impresa scientifica: trovare le leggi, conoscere le condizioni iniziali, calcolare il futuro. Il doppio pendolo ha demolito questa promessa. Non con un argomento filosofico. Ma con una traccia su un semplice foglio di carta. Le equazioni che governano il doppio pendolo sono newtoniane nel senso più puro. Non c'è nulla di probabilistico, nulla di quantistico, nulla che sfugga al determinismo. Se si conoscessero le condizioni iniziali con precisione assoluta, il futuro sarebbe — almeno in teoria — calcolabile con assoluta certezza! Il problema è che le condizioni iniziali non si possono conoscere con precisione assoluta. Non per negligenza, non per strumenti insufficienti: per struttura del reale. E in un sistema caotico questa imperfezione non rimane piccola ma cresce. Due configurazioni iniziali che differiscono di un milionesimo di grado producono, dopo un tempo sufficientemente lungo, traiettorie completamente diverse. La differenza si amplifica esponenzialmente. Il sistema è deterministico e imprevedibile simultaneamente. Questo non è un difetto della teoria ma una sua proprietà. La complessità non emerge nonostante le leggi, emerge proprio attraverso di esse, come loro conseguenza necessaria.
Qui si apre una questione filosofica che i secoli precedenti non avevano potuto anticipare. Kant aveva risolto il problema della libertà separando due mondi: il mondo fenomenico (governato dalla causalità necessaria, territorio della scienza) e il mondo noumenico in cui poteva trovare spazio la libertà morale. La natura segue le leggi. L'uomo libero agisce secondo principi che quelle leggi non possono contenere. Una soluzione elegante, ma che richiedeva di tenere separati due mondi che nell'esperienza non si lasciano separare così nettamente. Il caos deterministico dissolve questa separazione in modo inatteso. Non dice che la libertà è un'illusione. Dice qualcosa di più sottile e anche più bello: la libertà emerge dalla legge, non nonostante di essa. Il doppio pendolo non viola nessuna legge di Newton. Le rispetta tutte, scrupolosamente, ad ogni istante. Eppure produce comportamenti che non erano contenuti nelle condizioni iniziali in nessun senso pratico, che non erano predetti dalle leggi anche se ne erano prodotti. La libertà non è oltre la legge: è nell'eccedenza della legge rispetto alla propria capacità di determinare il futuro. Nietzsche aveva tolto il pavimento dimostrando che il fondamento ultimo non regge. Poincaré, infine, ha mostrato qualcosa di complementare: anche quando il pavimento è solido come in Newton, la traiettoria su di esso amplifica ogni minima irregolarità invece di smorzarla. Non è il pavimento a cedere. È la promessa della prevedibilità.
La traccia del doppio pendolo è un'opera d'arte che nessun artista ha fatto. Questa affermazione non è una provocazione, piuttosto è una questione filosofica precisa che attraversa tutta la storia dell'arte concettuale del Novecento. Duchamp aveva spostato la soglia dell'artisticità dal gesto tecnico alla scelta concettuale: è arte ciò che l'artista decide di presentare come tale. L'orinatoio era arte perché Duchamp lo aveva scelto, incorniciato, firmato. LeWitt aveva spostato l'asticella ancora più in là: è arte l'istruzione che genera l'opera, non l'oggetto prodotto. Il muro dipinto da un assistente secondo le istruzioni di LeWitt è un LeWitt, ovvero l'idea è l'opera. La traccia del doppio pendolo sfida entrambe le posizioni. Non c'è scelta duchampiana poiché il sistema produce la traccia indipendentemente da qualsiasi intenzione. Non c'è istruzione lewittiana nel senso rilevante in quanto le equazioni del moto non specificano la forma della traccia, specificano solo le leggi che la generano. La forma emerge da quelle leggi in un modo che nessuna istruzione poteva prescrivere e nessun progetto poteva anticipare. Eppure la traccia ha qualcosa che molte opere intenzionali non hanno: la singolarità irripetibile. Ogni esecuzione è diversa. La sensibilità alle condizioni iniziali garantisce che nessuna traccia sia uguale a un'altra e che nessuna possa essere prevista, quindi progettata, quindi intenzionata. Dove abita l'arte, in questo caso? Nell'equazione? Nel gesto di mettere la penna sul foglio? Nell'atto di guardare la traccia e riconoscerla come bella? O forse nell'interstizio tra questi tre momenti, in quello spazio che non appartiene né alla legge né all'intenzione né alla percezione, ma alla loro interazione irriducibile?
C'è ancora una cosa che il doppio pendolo dice e che merita attenzione. Le tracce che produce sono belle. Non in senso metaforico ma nel senso pieno e in qualche modo inspiegabile in cui certe cose sono belle. Hanno simmetrie che non erano state progettate. Hanno densità variabili, zone in cui la traccia si addensa quasi in figure solide, zone in cui si assottiglia in filamenti impalpabili che producono contrasto, ritmo, tensione e rilascio. Hanno una coerenza che non è ordine ma non è nemmeno disordine: è quella terza cosa che si chiama complessità quando si è disposti a nominarla senza cercare subito di ridurla a qualcosa di più familiare. Questa bellezza non ha un autore. Non ha un progetto. Ha solo condizioni di possibilità — le leggi del moto, le masse, le lunghezze dei bracci, le condizioni iniziali — e la traiettoria che quelle condizioni rendono necessaria senza renderla prevedibile. È la stessa struttura della spirale logaritmica nella conchiglia del mollusco: una forma necessaria e imprevedibile, generata solo da regole locali che non conoscono il risultato globale che stanno producendo. È la stessa struttura del teorema che Grothendieck non cercava e che il mare ammorbidito ha lasciato affiorare da solo. In tutti questi casi vale la stessa cosa: la bellezza non si progetta. Si rendono possibili le condizioni in cui può emergere. E poi si aspetta.
Il doppio pendolo lascia aperti alcuni problemi che vale la pena non chiudere troppo in fretta. Il primo riguarda il controllo. La grammatica con cui di solito ci avviciniamo ai problemi, alle persone, alle opere e alle situazioni difficili presuppone implicitamente che conoscere abbastanza garantisca di poter prevedere e quindi guidare l'esito. Il doppio pendolo mostra che questa presupposizione ha un limite strutturale, non contingente. Non è che non sappiamo abbastanza. È che i sistemi abbastanza ricchi da essere interessanti non si lasciano esaurire dalla conoscenza delle loro condizioni iniziali. Questo non è un invito al fatalismo, non significa che non valga la pena capire, studiare, approfondire. Significa che la postura più onesta di fronte alla complessità non è il controllo ma la presenza. Non prevedere l'esito ma stare dentro il processo con attenzione, con cura, con apertura a ciò che emerge. Il secondo problema riguarda la responsabilità. Se la traccia del pendolo è bella e non ha autore, chi risponde di essa? Se un gesto produce conseguenze che nessun progetto aveva previsto, chi ne porta il peso? Queste non sono domande retoriche ma domande che la complessità pone a chiunque agisca in sistemi interconnessi, che siano sistemi fisici, relazioni umane o processi creativi. Il terzo problema — forse il più bello — riguarda il confine tra caso e necessità. La traccia del doppio pendolo è necessaria nel senso che segue leggi assolute. Ed è casuale nel senso che non era prevedibile. Necessità e caso non sono opposti: sono due descrizioni dello stesso processo visto da livelli di risoluzione diversi. A livello delle equazioni, tutto è necessario. A livello della traiettoria, tutto sorprende. Questo confine tra ciò che la legge prescrive e ciò che la legge non può anticipare è forse il luogo più onesto in cui si possa stare a pensare. Non dalla parte della legge, che promette troppo. Non dalla parte del caso puro, che rinuncia troppo. Ma esattamente sulla soglia tra i due.
L'armonografo ottocentesco — il pendolo con la penna che traccia le proprie orbite — era nato come strumento dimostrativo. Mostrava le figure di Lissajous: curve chiuse, periodiche, geometricamente perfette, determinate dal rapporto tra le frequenze dei pendoli accoppiati. Frequenze con rapporto razionale producono curve che si chiudono. Frequenze con rapporto irrazionale producono curve che non si chiudono mai, che riempiono progressivamente il piano senza mai ripetersi. Già qui c'era qualcosa di profondo: la razionalità dei numeri si traduce in chiusura, la loro irrazionalità in apertura infinita. Il numero e la forma erano la stessa cosa vista da angolazioni diverse. L'armonografo caotico a più assi aggiunge accoppiamenti non lineari dove ogni braccio influenza il moto degli altri in modo che dipende dallo stato corrente del sistema. Il risultato è una traccia che nessuno poteva progettare, che nessun algoritmo lineare poteva generare e che ha una coerenza estetica immediata. Si mette la penna sul foglio. Si lascia andare il sistema. Si aspetta. Non si sa cosa apparirà. Si sa solo che apparirà qualcosa e che quel qualcosa sarà necessario nel modo in cui sono necessarie le cose che non potevano essere altrimenti, pur non essendo state previste. È un gesto che assomiglia molto alla scrittura. E molto alla cura. E molto, in fondo, a qualsiasi atto umano che rinunci all'illusione del controllo senza rinunciare alla presenza.
La penna tocca il foglio e il pendolo comincia a muoversi.
Il coro dell'alba
Eteronimi
Solo una conchiglia?
Grammatica della Cura
Isaac Newton
“Posso misurare il moto dei corpi con l'umana follia.”
Isaac Newton
Newton aveva scritto le equazioni del moto. Erano deterministiche, reversibili, perfette. Data la posizione e la velocità iniziale di ogni oggetto, il futuro era — in linea di principio — completamente calcolabile. L'universo era un orologio dalla precisione infinita. Pierre-Simon Laplace aveva portato questa idea alla sua conseguenza logica più vertiginosa. Immaginiamo, scriveva, un'intelligenza che conoscesse la posizione e la velocità di ogni particella nell'universo in un dato istante. Per quella intelligenza non ci sarebbe nulla di incerto: il futuro si dispiegherebbe davanti a lei con la stessa necessità del passato. Passato e futuro sarebbero ugualmente leggibili. Il caso non esiste: è solo il nome che diamo alla nostra ignoranza. È una visione di una coerenza quasi commovente. E per quasi due secoli ha costituito l'orizzonte implicito di ogni impresa scientifica: trovare le leggi, conoscere le condizioni iniziali, calcolare il futuro. Il doppio pendolo ha demolito questa promessa. Non con un argomento filosofico. Ma con una traccia su un semplice foglio di carta. Le equazioni che governano il doppio pendolo sono newtoniane nel senso più puro. Non c'è nulla di probabilistico, nulla di quantistico, nulla che sfugga al determinismo. Se si conoscessero le condizioni iniziali con precisione assoluta, il futuro sarebbe — almeno in teoria — calcolabile con assoluta certezza! Il problema è che le condizioni iniziali non si possono conoscere con precisione assoluta. Non per negligenza, non per strumenti insufficienti: per struttura del reale. E in un sistema caotico questa imperfezione non rimane piccola ma cresce. Due configurazioni iniziali che differiscono di un milionesimo di grado producono, dopo un tempo sufficientemente lungo, traiettorie completamente diverse. La differenza si amplifica esponenzialmente. Il sistema è deterministico e imprevedibile simultaneamente. Questo non è un difetto della teoria ma una sua proprietà. La complessità non emerge nonostante le leggi, emerge proprio attraverso di esse, come loro conseguenza necessaria.
Qui si apre una questione filosofica che i secoli precedenti non avevano potuto anticipare. Kant aveva risolto il problema della libertà separando due mondi: il mondo fenomenico (governato dalla causalità necessaria, territorio della scienza) e il mondo noumenico in cui poteva trovare spazio la libertà morale. La natura segue le leggi. L'uomo libero agisce secondo principi che quelle leggi non possono contenere. Una soluzione elegante, ma che richiedeva di tenere separati due mondi che nell'esperienza non si lasciano separare così nettamente. Il caos deterministico dissolve questa separazione in modo inatteso. Non dice che la libertà è un'illusione. Dice qualcosa di più sottile e anche più bello: la libertà emerge dalla legge, non nonostante di essa. Il doppio pendolo non viola nessuna legge di Newton. Le rispetta tutte, scrupolosamente, ad ogni istante. Eppure produce comportamenti che non erano contenuti nelle condizioni iniziali in nessun senso pratico, che non erano predetti dalle leggi anche se ne erano prodotti. La libertà non è oltre la legge: è nell'eccedenza della legge rispetto alla propria capacità di determinare il futuro. Nietzsche aveva tolto il pavimento dimostrando che il fondamento ultimo non regge. Poincaré, infine, ha mostrato qualcosa di complementare: anche quando il pavimento è solido come in Newton, la traiettoria su di esso amplifica ogni minima irregolarità invece di smorzarla. Non è il pavimento a cedere. È la promessa della prevedibilità.
La traccia del doppio pendolo è un'opera d'arte che nessun artista ha fatto. Questa affermazione non è una provocazione, piuttosto è una questione filosofica precisa che attraversa tutta la storia dell'arte concettuale del Novecento. Duchamp aveva spostato la soglia dell'artisticità dal gesto tecnico alla scelta concettuale: è arte ciò che l'artista decide di presentare come tale. L'orinatoio era arte perché Duchamp lo aveva scelto, incorniciato, firmato. LeWitt aveva spostato l'asticella ancora più in là: è arte l'istruzione che genera l'opera, non l'oggetto prodotto. Il muro dipinto da un assistente secondo le istruzioni di LeWitt è un LeWitt, ovvero l'idea è l'opera. La traccia del doppio pendolo sfida entrambe le posizioni. Non c'è scelta duchampiana poiché il sistema produce la traccia indipendentemente da qualsiasi intenzione. Non c'è istruzione lewittiana nel senso rilevante in quanto le equazioni del moto non specificano la forma della traccia, specificano solo le leggi che la generano. La forma emerge da quelle leggi in un modo che nessuna istruzione poteva prescrivere e nessun progetto poteva anticipare. Eppure la traccia ha qualcosa che molte opere intenzionali non hanno: la singolarità irripetibile. Ogni esecuzione è diversa. La sensibilità alle condizioni iniziali garantisce che nessuna traccia sia uguale a un'altra e che nessuna possa essere prevista, quindi progettata, quindi intenzionata. Dove abita l'arte, in questo caso? Nell'equazione? Nel gesto di mettere la penna sul foglio? Nell'atto di guardare la traccia e riconoscerla come bella? O forse nell'interstizio tra questi tre momenti, in quello spazio che non appartiene né alla legge né all'intenzione né alla percezione, ma alla loro interazione irriducibile?
C'è ancora una cosa che il doppio pendolo dice e che merita attenzione. Le tracce che produce sono belle. Non in senso metaforico ma nel senso pieno e in qualche modo inspiegabile in cui certe cose sono belle. Hanno simmetrie che non erano state progettate. Hanno densità variabili, zone in cui la traccia si addensa quasi in figure solide, zone in cui si assottiglia in filamenti impalpabili che producono contrasto, ritmo, tensione e rilascio. Hanno una coerenza che non è ordine ma non è nemmeno disordine: è quella terza cosa che si chiama complessità quando si è disposti a nominarla senza cercare subito di ridurla a qualcosa di più familiare. Questa bellezza non ha un autore. Non ha un progetto. Ha solo condizioni di possibilità — le leggi del moto, le masse, le lunghezze dei bracci, le condizioni iniziali — e la traiettoria che quelle condizioni rendono necessaria senza renderla prevedibile. È la stessa struttura della spirale logaritmica nella conchiglia del mollusco: una forma necessaria e imprevedibile, generata solo da regole locali che non conoscono il risultato globale che stanno producendo. È la stessa struttura del teorema che Grothendieck non cercava e che il mare ammorbidito ha lasciato affiorare da solo. In tutti questi casi vale la stessa cosa: la bellezza non si progetta. Si rendono possibili le condizioni in cui può emergere. E poi si aspetta.
Il doppio pendolo lascia aperti alcuni problemi che vale la pena non chiudere troppo in fretta. Il primo riguarda il controllo. La grammatica con cui di solito ci avviciniamo ai problemi, alle persone, alle opere e alle situazioni difficili presuppone implicitamente che conoscere abbastanza garantisca di poter prevedere e quindi guidare l'esito. Il doppio pendolo mostra che questa presupposizione ha un limite strutturale, non contingente. Non è che non sappiamo abbastanza. È che i sistemi abbastanza ricchi da essere interessanti non si lasciano esaurire dalla conoscenza delle loro condizioni iniziali. Questo non è un invito al fatalismo, non significa che non valga la pena capire, studiare, approfondire. Significa che la postura più onesta di fronte alla complessità non è il controllo ma la presenza. Non prevedere l'esito ma stare dentro il processo con attenzione, con cura, con apertura a ciò che emerge. Il secondo problema riguarda la responsabilità. Se la traccia del pendolo è bella e non ha autore, chi risponde di essa? Se un gesto produce conseguenze che nessun progetto aveva previsto, chi ne porta il peso? Queste non sono domande retoriche ma domande che la complessità pone a chiunque agisca in sistemi interconnessi, che siano sistemi fisici, relazioni umane o processi creativi. Il terzo problema — forse il più bello — riguarda il confine tra caso e necessità. La traccia del doppio pendolo è necessaria nel senso che segue leggi assolute. Ed è casuale nel senso che non era prevedibile. Necessità e caso non sono opposti: sono due descrizioni dello stesso processo visto da livelli di risoluzione diversi. A livello delle equazioni, tutto è necessario. A livello della traiettoria, tutto sorprende. Questo confine tra ciò che la legge prescrive e ciò che la legge non può anticipare è forse il luogo più onesto in cui si possa stare a pensare. Non dalla parte della legge, che promette troppo. Non dalla parte del caso puro, che rinuncia troppo. Ma esattamente sulla soglia tra i due.
L'armonografo ottocentesco — il pendolo con la penna che traccia le proprie orbite — era nato come strumento dimostrativo. Mostrava le figure di Lissajous: curve chiuse, periodiche, geometricamente perfette, determinate dal rapporto tra le frequenze dei pendoli accoppiati. Frequenze con rapporto razionale producono curve che si chiudono. Frequenze con rapporto irrazionale producono curve che non si chiudono mai, che riempiono progressivamente il piano senza mai ripetersi. Già qui c'era qualcosa di profondo: la razionalità dei numeri si traduce in chiusura, la loro irrazionalità in apertura infinita. Il numero e la forma erano la stessa cosa vista da angolazioni diverse. L'armonografo caotico a più assi aggiunge accoppiamenti non lineari dove ogni braccio influenza il moto degli altri in modo che dipende dallo stato corrente del sistema. Il risultato è una traccia che nessuno poteva progettare, che nessun algoritmo lineare poteva generare e che ha una coerenza estetica immediata. Si mette la penna sul foglio. Si lascia andare il sistema. Si aspetta. Non si sa cosa apparirà. Si sa solo che apparirà qualcosa e che quel qualcosa sarà necessario nel modo in cui sono necessarie le cose che non potevano essere altrimenti, pur non essendo state previste. È un gesto che assomiglia molto alla scrittura. E molto alla cura. E molto, in fondo, a qualsiasi atto umano che rinunci all'illusione del controllo senza rinunciare alla presenza.
La penna tocca il foglio e il pendolo comincia a muoversi.
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